Question

【题目】在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心.

（1）建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；

（2）求点的坐标；

（3）求的周长及面积.

Answer 1

【答案】（1）坐标系见解析，;（2）;（3）;

【解析】

（1）以为原点,为轴,为轴建立直角坐标系,依次写出的坐标,由重心公式求得重心即可；

（2）由光的反射具有对称性,作关于的对称点,关于的对称点,则四点共线,设,根据对称性可得,,且在直线上,解出方程并将点坐标代入即可求得,进而得到的坐标；

（3）由（2）, 的周长转化为的长,利用割补法将的面积转化为的面积与的面积的差计算即可

（1）以为原点,为轴,为轴建立直角坐标系,则,,,

所以根据重心公式可得重心为,即

（2）作关于的对称点,关于的对称点,由于光的反射原理,四点共线,

因为过重心,所以过重心,

设,则,

因为,,所以直线为：,

设,则,所以 ,即

则直线为,

由（1）,代入点,即,

所以或,

因为异于,

所以点为

（3）由（2）,,,

由于对称性,则的周长为：,

直线为,即,

当时,,则

联立,解得,则,

所以的面积为：