【题目】如图,在多面体ABD﹣A1B1C1D1中四边形A1B1C1D1,ADD1A1.ABB1A1均为正方形.点M是BD的中点.点H在线段C1M上,且A1H与平面ABD所成角的正弦值为.
(Ⅰ)证明:B1D1∥平面BC1D:
(Ⅱ)求二面角A﹣A1H﹣B的的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)构造正方体证明BD∥B1D1即可.
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用A1H与平面ABD所成角的正弦值为可求得
的坐标,再利用空间向量求二面角的方法求解即可.
(Ⅰ)证明:如图,构造正方体ABED﹣A1B1C1D1,
结合正方体ABED﹣A1B1C1D1,得BD∥B1D1,
∵BD平面BC1D,B1D1平面BC1D,
∴B1D1∥平面BC1D.
(Ⅱ)解:以D为原点,DA为x轴,DE为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设AD=2,则M(1,1,0),C1(0,2,2),A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),
设H(a,b,c),,(0≤λ≤1),则(a,b﹣2,c﹣2)=(λ,﹣λ,﹣2λ),
∴H(λ,2﹣λ,2﹣2λ),
平面ABD的法向量(0,0,1),
(λ﹣2,2﹣λ,﹣2λ),
∵A1H与平面ABD所成角的正弦值为.
∴,
解得,(舍负),∴H(
,
,1),
(
,
,﹣1),
(0,0,﹣2),
(0,2,﹣2),
设平面AA1H的法向量(x,y,z),
则,取x=1,得
(1,1,0),
设平面A1HB的法向量(x,y,z),
则,取y=1,得
(
,1,1),
设二面角A﹣A1H﹣B的平面角为θ,
则cosθ,
∴二面角A﹣A1H﹣B的正弦值为:
sinθ.
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【题目】已知曲线上一动点P(x,y)(x>0)到定点F(,0)的距离与它到直线l:x
的距离的比是
.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)若M是曲线E上的一个动点,直线l′:y=x+4,求点M到直线l′的距离的最小值.
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【题目】设二阶方矩阵,则矩阵
所对应的矩阵变换为:
,其意义是把点
变换为点
,矩阵
叫做变换矩阵.
(1)当变换矩阵时,点
、
经矩阵变换后得到点分别是
、
,求经过点
、
的直线的点方向式方程;
(2)当变换矩阵时,若直线上的任意点
经矩阵变换后得到的点
仍在该直线上,求直线的方程;
(3)若点经过矩阵
变换后得到点
,且
与
关于直线
对称,求变换矩阵
.
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【题目】某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度(单位:cm)的情况如表1:
900 | 700 | 300 | 100 | |
0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
该省某市2017年11月份AQI指数频数分布如表2:
频数(天) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
<>(1)设
(2)小李在该市开了一家洗车店,洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3:
日均收入(元) | -2000 | -1000 | 2000 | 6000 | 8000 |
根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入.
附参考公式:,其中
,
.
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【题目】如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(Ⅰ)求证:平面DAF⊥平面CBF;
(Ⅱ)当AD=1时,求直线FB与平面DFC所成角的正弦值.
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【题目】在等腰直角三角形中,
,点
是边
上异于
的一点,光线从点
出发,经
反射后又回到原点
,光线
经过
的重心.
(1)建立适当的坐标系,请求的重心
的坐标;
(2)求点的坐标;
(3)求的周长及面积.
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【题目】(1)某校夏令营有3名男同学A、B、C和3名女同学X、Y、Z,其年级情况如下表:
一年级 | 二年级 | 三年级 | |
男同学 | A | B | C |
女同学 | X | Y | Z |
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
①用表中字母列举出所有可能的结果;
②设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
(2)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是多少?
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【题目】选修4-4坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
分别交于
,
两点.
(1)写出曲线的平面直角坐标方程和直线
的普通方程:
(2)若成等比数列,求实数
的值.
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【题目】下列命题(1)条斜线段长相等,则他们在平面内的射影长也相等;(2)直线
不在平面
内,他们在平面
内的射影是两条平行直线,则
;(3)与同一平面所成的角相等的两条直线平行;(4)一条直线与一个平面所成的角是
,那么它与平面内任何其他直线所成的角都不小于
;其中正确的命题序号是____________.
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