Question

【题目】已知曲线上一动点P（x，y）（x＞0）到定点F（，0）的距离与它到直线l：x的距离的比是．

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）若M是曲线E上的一个动点，直线l′：y＝x+4，求点M到直线l′的距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（x） （2）

【解析】

（1）由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；

（2）设，过与直线且与双曲线相切的直线，联立双曲线的方程，由相切的条件：判别式为0，可得，注意检验，再由两平行直线的距离公式可得所求最小值．

解：（1）曲线上一动点，到定点，的距离与它到直线的距离的比是，

可得，两边平方可得，

令可得，

则动点的轨迹的方程为；

（2）设，过与直线且与双曲线相切的直线，

由可得，，解得，

当时，，解得，由可得舍去；

当时，，解得，符合题意；直线，

和的距离为，可得点到直线的距离的最小值为．