Question

【题目】（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．

（1）求a，b的值．

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．

（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；

（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1．（2）（ⅰ）m＝±时，S△OAB取得最大值1．（ⅱ）±.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆几何条件知上顶点到焦点的距离为半长轴长，即a＝2，又e，所以c＝，故b＝1．（2）（ⅰ）求△OAB面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线距离公式来求高，利用两点间距离公式来求底边边长：设点P（m，0）（－2≤m≤2），直线l的方程为y＝x－m．则可求得∣AB|＝，高为，从而S△OAB＝×|m|，利用基本不等式求最值（ⅱ）由题意先表示出PA2＋PB2，再按m整理，最后根据与点P的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k的值．

试题解析：（1）由题设可知a＝2，e，所以c＝，故b＝1．

因此，a＝2，b＝1． 2分

（2）由（1）可得，椭圆C的方程为＋y2＝1．

设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．

(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．

联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得

－2mx＋m2－1＝0．从而有x1＋x2＝， x1· x2＝，

而y1＝x1－m，y2＝x2－m，

因此，∣AB|＝

点O到直线l的距离d＝，

所以，S△OAB＝×|AB|×d＝×|m|，

因此，S2△OAB＝ ( 5－m2)×m2≤＝1．

6分

又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．

所以，当5－m2＝m2，即m2＝， m＝±时，S△OAB取得最大值1．

8分

(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).

将直线l与椭圆C的方程联立，即．

将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，

x1＋x2＝，x1·x2＝ ． 10分

所以，

PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝ (x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2

＝ （*）. 14分

因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，

所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±．

所以，k的值为±. 16分