【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
分别为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)如果直线与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要证明线与面垂直,根据判定定理,需要证明线与平面内的两条相交直线垂直,根据中点易证明,所以可以将问题转化为证明
与平面
内的两条相交直线垂直,即证明
和
;
(Ⅱ)根据上一问所证明的垂直关系,可以建立以为原点的空间直角坐标系,设
,根据
,表示点
的坐标,首先求平面
的法向量
,以及平面
的法向量
,并根据
建立方程,求
.
试题解析:(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为
,
,
所以.
由分别为
的中点,得
,
所以.
因为侧面底面
,且
,
所以底面
.
又因为底面
,
所以.
又因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)解:因为底面
,
,所以
两两垂直,故以
分别为轴、
轴和
轴,如上图建立空间直角坐标系,
则,
所以,
,
,
设,则
,
所以,
,
易得平面的法向量
.
设平面的法向量为
,
由,
,得
令, 得
.
因为直线与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等,
所以,即
,
所以 ,
解得,或
(舍).
综上所得:
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=(﹣x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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【题目】已知抛物线的方程为,过点
的一条直线与抛物线
交于
两点,若抛物线在
两点的切线交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设直线与直线
的夹角为
,求
的取值范围.
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【题目】某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)求回归直线方程;
(2)试预测广告费支出为10万元时,销售额多大?
(3)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.
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【题目】【2017四川宜宾二诊】已知函数且
.
(I)若,求函数
的单调区间;(其中
是自然对数的底数)
(II)设函数,当
时,曲线
与
有两个交点,求
的取值范围.
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【题目】【2017重庆二诊】已知椭圆:
的左顶点为
,右焦点为
,过点
且斜率为1的直线交椭圆
于另一点
,交
轴于点
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线
与椭圆
交于
两点,连接
(
为坐标原点)并延长交椭圆
于点
,求
面积的最大值及取最大值时直线
的方程.
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【题目】已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
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【题目】(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为
.
(1)求a,b的值.
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点.
(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;
(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值.
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