【题目】(本小题满分14分)
在正三棱柱中,点
是
的中点,
.
(1)求证:∥平面
;
(2)试在棱上找一点
,使
.
【答案】(1)详见解析(2)为
的中点.
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理进行证明,即先从线线平行出发,这可利用三角形中位线性质进行证明:连接,交
于点
,则
、
分别是
、
的中点,所以
∥
.从而可证
∥平面
.(2)找一点目的是证线线垂直,故从垂直角度找:利用正方形性质,边的中点与对边顶点连线存在垂直关系,故取
为
的中点.再根据线面垂直判定及性质定理进行论证.
试题解析:(1)证明:连接,交
于点
, 连接
.
∵、
分别是
、
的中点,
∴∥
. 3分
∵平面
,
平面
,
∴∥平面
. 6分
(2)为
的中点. 7分
证明如下:
∵在正三棱柱中,
,∴四边形
是正方形.
∵为
的中点,
是
的中点,∴
, 9分
∴,
.
又∵,
,∴
. 11分
∵是正三角形,
是
的中点,
∴.
∵平面平面
, 平面
平面
,
平面
,
∴平面
.
∵平面
,
∴. 13分
∵,
∴平面
.
∵平面
,
∴. 14分
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【题目】【2017四川宜宾二诊】已知函数且
.
(I)若,求函数
的单调区间;(其中
是自然对数的底数)
(II)设函数,当
时,曲线
与
有两个交点,求
的取值范围.
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【题目】(本题满分14分)如图,已知椭圆:
,其左右焦点为
及
,过点
的直线交椭圆
于
两点,线段
的中点为
,
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点,且
、
、
构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记△的面积为
,△
(
为原点)的面积为
.试问:是否存在直线
,使得
?说明理由.
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【题目】(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为
.
(1)求a,b的值.
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点.
(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;
(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值.
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【题目】已知a>0,设命题p:函数f(x)=x2﹣2ax+1﹣2a在区间[0,1]上与x轴有两个不同的交点;命题q:g(x)=|x﹣a|﹣ax有最小值.若(¬p)∧q是真命题,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如表:
x | ﹣ | ||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;
(2)根据(1)的结果:
( i)当x∈[0, ]时,方程f(3x)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围;
( ii)若α,β是锐角三角形的两个内角,试比较f(sinα)与f(cosβ)的大小.
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【题目】已知点A( +1,0),B(0,2).若直线l:y=k(x﹣1)+1与线段AB相交,则直线l倾斜角α的取值范围是( )
A.[ ,
]
B.[0, ]
C.[0, ]∪[
,π)
D.[ ,π)
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