【题目】(本题满分14分)如图,已知椭圆:
,其左右焦点为
及
,过点
的直线交椭圆
于
两点,线段
的中点为
,
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点,且
、
、
构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记△的面积为
,△
(
为原点)的面积为
.试问:是否存在直线
,使得
?说明理由.
【答案】(1);(2)不存在直线
,使得
.
【解析】
试题分析:(1)求椭圆的标准方程,由已知
、
、
构成等差数列,即
,由椭圆的定义可得,
,由已知焦点为
及
,可得
,可求出
,从而得椭圆
的标准方程;(2)记△
的面积为
,△
(
为原点)的面积为
.试问:是否存在直线
,使得
?说明理由,这是探索性命题,一般假设其存在,本题假设存在直线
,使得
,由题意直线
不能与
轴垂直,故设
方程为
,将其代入
,整理得
,设
,
,由根与系数关系,表示出点
的坐标,写出中垂线方程,得点
的坐标,由于
和
相似,若
,则
,建立方程,求解斜率
的值,若有解,则存在,若无解,则不存在.
试题解析:(1)因为、
、
构成等差数列,
所以,所以
. (2分)
又因为,所以
, (3分)
所以椭圆的方程为
. (4分)
(2)假设存在直线,使得
,显然直线
不能与
轴垂直.
设方程为
(5分)
将其代入,整理得
(6分)
设,
,所以
.
故点的横坐标为
.所以
. (8分)
因为 ,所以
, 解得
,
即 (10分)
和
相似,
若
,则
(11分)
所以 , (12分)
整理得 . (13分)
因为此方程无解,所以不存在直线,使得
. (14分)
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,n∈N* .
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N* , 求数列{anbn}的前n项和Tn .
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【题目】在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a,b,c且满足csinA= acosC,则sinA+sinB的最大值是( )
A.1
B.
C.3
D.
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【题目】设集合A={(x,y)|(x﹣4)2+y2=1},B={(x,y)|(x﹣t)2+(y﹣at+2)2=1},如果命题“t∈R,A∩B≠”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[1,4]
B.[0, ]
C.[0, ]
D.(﹣∞,0]∪( ,+∞]
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【题目】已知为椭圆
上的一个动点,弦
分别过左右焦点
,且当线段
的中点在
轴上时,
.
(1)求该椭圆的离心率;(2)设,试判断
是否为定值?若是定值,求出该定值,并给出证明;若不是定值,请说明理由.
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【题目】设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】某校为了解一个英语教改实验班的情况,举行了一次测试,将该班30位学生的英语成绩进行统计,得图示频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求出该班学生英语成绩的众数,平均数及中位数;
(2)从成绩低于80分的学生中随机抽取2人,规定抽到的学生成绩在[50,60)的记1绩点分,在[60,80)的记2绩点分,设抽取2人的总绩点分为ξ,求ξ的分布列.
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【题目】(本小题满分10分)设个正数
满足
(
且
).
(1)当时,证明:
;
(2)当时,不等式
也成立,请你将其推广到
(
且
)个正数
的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
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