Question

【题目】如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．

（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求直线A1E与平面AD1E所成角．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD1交A1D于点F，连EF．

∵四边形AA1D1D是正方形，

∴F是AD1的中点，

又∵E为AB的中点，

∴EF∥BD1，

又∵EF平面A1DE，BD1平面A1DE．

∴BD1∥平面A1DE．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AE⊥AD．

又∵平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，AE平面ABCD，

∴AE⊥平面AA1D1D，又A1D平面AA1D1D，

∴AE⊥A1D．

∵四边形ADD1A1是正方形，

∴AD1⊥A1D，

又∵AE平面AD1E，AD1平面AD1E，AE∩AD1=A，

∴A1D⊥平面AD1E，

∴∠A1EF是直线A1E与平面AD1E所成角．

∵AA1=AE=1，

∴

∵正方形AA1D1D的边长为1，

∴

∴ ，

∴ ．

即直线A1E与平面AD1E所成角为 ．

【解析】（1）连接AD1交A1D于点F，连EF，利用中位线定理可得BD1∥EF，故BD1∥平面A1DE；（2）证明A1D⊥平面AD1E，故而∠A1EF为直线A1E与平面AD1E所成角，于是sin∠A1EF= ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．