Question

【题目】设二阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵.

（1）当变换矩阵时，点、经矩阵变换后得到点分别是、，求经过点、的直线的点方向式方程；

（2）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线的方程；

（3）若点经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，求变换矩阵.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

（1）由给出的变换矩阵定义求出、的坐标，进而求出直线的方向向量，求出点向式方程；

（2）设直线方程为：：，求出其上点关于矩阵变换后的点也满足直线的方程，再根据两直线重合的条件：斜率相等，截距相同即可求出直线方程；

（3）因为点经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，所以有：

，解之得： ，再根据，得出即可.

（1）由题意得：，即，解之得： ，所以；

，即，解之得： ，所以，

则，

所以方程为 ，即；

（2），即 ，

设：（不全为），

：，即，

由题知，与重合得，

所以或，

，得，

，得或，即，；

（3）因为与关于直线对称，所以有：

，解之得： ，

故，所以.