Question

已知椭圆C的方程为x²+=1，点P（a，b）的坐标满足a²+≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：

（1）点Q的轨迹方程；

（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），点Q的坐标为Q（x，y）. 当x1≠x2时，设直线斜率为k，则l的方程为y=k（x－a）+b. 由已知x12+=1  ①，x22+=1  ② y1=k（x1－a）+b  ③，y2=k（x2－a）+b  ④ ①－②得（x1+x2）（x1－x2）+（y1+y2）（y1－y2）=0.  ⑤ ③+④得y1+y2=k（x1+x2）－2ka+2b  ⑥ 由⑤、⑥及， 得点Q的坐标满足方程2x2+y2－2ax－by=0  ⑦ 当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴，即Q的坐标为（a，0），显然点Q的坐标满足方程⑦ 综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y2－2ax－by=0. 设方程⑦所表示的曲线为l. 则由得（2a2+b2）x2－4ax+2－b2=0. 因为Δ=8b2（a2+－1），由已知a2+≤1 所以当a2+=1时，Δ=0，曲线l与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）； 当a2+＜1时，Δ＜0，曲线l与椭圆C没有交点. 因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线l上，所以曲线l在椭圆C内. 故点Q的轨迹方程为2x2+y2－2ax－by=0； （2）由，得曲线l与y轴交于点（0，0）、（0，b）； 由，得曲线l与x轴交于点（0，0）、（a，0）； 当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重合，曲线l与x轴只有一个交点（0，0）； 当a=0且0＜|b|≤时，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线l与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）； 同理，当b=0且0＜|a|≤1时，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线l与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）； 当0＜|a|＜1且0＜|b|＜时，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线l与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）.