Question

10．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ）．
（Ⅰ）求C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M为曲线C₁上任意一点，过M作圆C₂的切线，切点为N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t为参数），相加可得普通方程．圆C₂的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），展开可得：ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（cosθ+sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．
（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d，可得|MN|的最小值=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t为参数），相加可得普通方程：x+y=-4．
圆C₂的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），展开可得：ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（cosθ+sinθ），
可得直角坐标方程：x²+y²=4x+4y．
（Ⅱ）由（x-2）²+（y-2）²=8，可得圆心C₂（2，2），半径r=2$\sqrt{2}$．
圆心到直线的距离d=$\frac{|2+2+4|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
则|MN|的最小值=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．