Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x、y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求曲线f(x)=F[1，log2(x3-3x)]与直线4x+15y-3=0垂直的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数b使曲线g(x)=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]在（m，n）点处的切线斜率为-8，且m∈[2，4]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=F[1，log2(x3-3x)]=x3-3x，依题意令log2(x3-3x)＞0，因为所求曲线C₁的切线与直线4x+15y-3=0垂直，故令f′(x)=3x2-3=

15

4

得x2=

9

4

．由此能推导出所求切线方程．
（2）函数g(x)=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]=x3+ax2+bx+1，令log2(x3+ax2+bx+1)＞0，得x³+ax²+bx＞0，因切点为（m，n），故有m³+am²+bm＞0，由此能求出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f(x)=F[1，log2(x3-3x)]=x3-3x，
依题意令log2(x3-3x)＞0①，（2分）
因为所求曲线C₁的切线与直线4x+15y-3=0垂直，
故令f′(x)=3x2-3=

15

4

得x2=

9

4

②，
由①②知应取x=-

3

2

，得f(-

3

2

)=

9

8

，切点为(-

3

2

，

9

8

)，
所求切线方程是y-

9

8

=

15

4

(x+

3

2

)，
即15x-4y+27=0．（4分）
（2）函数g(x)=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]=x3+ax2+bx+1
令log2(x3+ax2+bx+1)＞0，得x³+ax²+bx＞0
因切点为（m，n），
故有m³+am²+bm＞0，（6分）
又g'（x）=3x²+2ax+b，
依题意有g'（m）=3m²+2am+b=-8，b=-3m²-2am-8
所以m³+am²+bm=m³+am²+（-3m²-2am-8）m
即-2m³-am²-8m＞0，（8分）
该不等式在m∈[2，4]上有解，
即2m³+am²+8m＜0在m∈[2，4]上有解，
转化为a＜-2m-

8

m

在m∈[2，4]上有解，（10分）
令h(m)=-2m-

8

m

，
则h′(m)=-2+

8

m2

，在m∈[2，4]上恒有h'（m）＜0
所以函数h（m）是[2，4]上的减函数，
其最大值为h（2）=-8，
所以实数a的取值范围是（-∞，-8）．（12分）

点评：本题考查切线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质和等价转化思想的合理运用．