Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，，，，．

（1）若为的中点，证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）推导出，，，，由此能证明平面．

（2）法一：取的中点，连结，取中点，连结，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

法二：取的中点，连结，，推导出，，平面，则，从而为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．

证明：（1）∵，，

∴，

∵，∴，

∵，为的中点，∴，

又，∴平面．

解：（2）解法一：取的中点，连结，取中点，连结，

∵，，∴，

又为的中点，∴，

由（1）知平面平面，平面平面，

∴平面，

以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意知，，，

，，

设平面的法向量，

则，令，得，

平面的法向量，，

由图知二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

解法二：取的中点，连结，，

∵为的中点，∴，又，∴，

由（1）知平面，则，

∴为二面角的平面角，

∵，，，∴，

又，则，

∴，即二面角的余弦值为．