Question

【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：

第一段生产的半成品质量指标	或	或
第二段生产的成品为一等品概率	0.2	0.4	0.6
第二段生产的成品为二等品概率	0.3	0.3	0.3
第二段生产的成品为三等品概率	0.5	0.3	0.1

从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：

若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元.

（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；

（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；

（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.

（参考数据：，，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）万元；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）首先根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；（Ⅱ）首先确定随机变量的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求的数学期望；（Ⅲ）首先根据正态分布的性质确定好等，然后类似第二问求出随机变量的分布列及数学期望，最后根据随机变量的数学期望的大小作决策.

（Ⅰ）平均值为： .

（Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或 ，

或 ，，

设生产一件产品的利润为元，则

，

，

，

所以生产一件成品的平均利润是元，

所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元.

（Ⅲ），

设引入该设备后生产一件成品利润为元，则

，

，

，

所以引入该设备后生产一件成品平均利润为

元，

所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元，

增加收入万元，

综上，应该引入该设备.