Question

【题目】对于无穷数列，，若，，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.

（1）若，求的前项和；

（2）证明：的“收缩数列”仍是；

（3）若且，，求所有满足该条件的.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3），.

【解析】

（1）根据可得为递增数列，从而可得，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得，即，则可知，可证得结论；（3）令猜想可得，，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足，的符合题设条件，从而可得结论.

（1）由可得为递增数列

由通项公式可知为等差数列

的前项和为：

（2）

，又

的“收缩数列”仍是

（3）由可得：

当时，；

当时，，即，所以；

当时，，即（*），

若，则，所以由（*）可得，与矛盾；

若，则，所以由（*）可得

所以与同号，这与矛盾；

若，则，由（*）可得.

猜想：满足的数列是：

，

经验证，左式

右式

下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件

由上述时的情况可知，时，，是成立的

假设是首次不符合，的项，则

由题设条件可得（*）

若，则由（*）式化简可得与矛盾；

若，则，所以由（*）可得

所以与同号，这与矛盾；

所以，则，所以由（*）化简可得.

这与假设矛盾.

所以不存在数列不满足，的符合题设条件

综上所述：，