Question

【题目】已知函数f（x）= + ．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）= [f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；
（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+ ≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，

所以函数的定义域为[﹣1，1]，

又[f（x）]2=2+2 ∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[ ，2]，

所以函数值域为[ ，2]

（2）解：因为F（x）= =a + + ，

令t=f（x）= + ，则 = ﹣1，

∴F（x）=m（t）=a（ ﹣1）+t= ，t∈[ ，2]，

由题意知g（a）即为函数m（t）= ，t∈[ ，2]的最大值．

注意到直线t=﹣ 是抛物线m（t）= 的对称轴．

因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[ ，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

①若t=﹣ ∈（0， ]，即a≤﹣ ，则g（a）=m（ ）= ；

②若t=﹣ ∈（ ，2]，即﹣ ＜a≤﹣ ，则g（a）=m（﹣ ）=﹣a﹣ ；

③若t=﹣ ∈（2，+∞），即﹣ ＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，

综上有g（a）=

（3）解：易得 ，

由﹣ ≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣ ≤gmin（a）= 恒成立，

m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，

只需 ，

解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．

【解析】（1）根据函数成立的条件求出函数的定义域，结合函数的定义域和值域之间的关系进行求解即可，（2）根据题意写出F（x）的解析式，令t=f（x）换元，化为关于t的二次函数，结合二次函数求最值的方法得到F（x）的最大值，（3）根据（2）中求出g（x）的最小值，对于a＜0恒成立，即要使恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可.
【考点精析】掌握函数的定义域及其求法和函数的值域是解答本题的根本，需要知道求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．