Question

(本小题满分12分)

有一幅椭圆型彗星轨道图，长4cm，高，如下图，

已知O为椭圆中心，A₁，A₂是长轴两端点，

太阳位于椭圆的左焦点F处.

   （Ⅰ）建立适当的坐标系，写出椭圆方程，

并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离；

   （Ⅱ）直线l垂直于A₁A₂的延长线于D点，|OD|=4，

设P是l上异于D点的任意一点，直线A₁P，A₂P分别

交椭圆于M、N（不同于A₁，A₂）两点，问点A₂能否

在以MN为直径的圆上？试说明理由.

Answer 1

（I）距离为1.5㎝

（Ⅱ）点A₂不在以MN为直径的圆上

解析:

（I）建立图示的坐标系，设椭圆方程为依题意，2a=4，

椭圆方程为……2分

F（－1，0）将x=－1代入椭圆方程得

∴当彗星位于太阳正上方时，二者在图中的距离为1.5㎝.5分

（Ⅱ）由（I）知，A₁（－2，0），A₂（2，0），

设M（在椭圆上，

又点M异于顶点A₁，A₂，∴－2＜x₀＜2，

由P、M、A₁三点共线可得P

…8分10分

∴P、A₂、N三点共线，∴直线A₂M与NA₂不垂直，

∴点A₂不在以MN为直径的圆上……12分