Question

4．给出下列命题：
①命题“若方程ax²+x+1=0有两个实数根，则a≤$\frac{1}{4}$”的逆否命题是真命题；
②“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π，”是“a=1”的必要不充分条件；
③函数f（x）=2^x-x²的零点个数为2；
④幂函数y=x^α（α∈R）的图象恒过定点（0，0），
其中正确的个数（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①a=0时，方程ax²+x+1=0只有一个实数根，原命题与逆否命题同真假；
②f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax其最小正周期为π，则a=±1；
③函数f（x）=2^x-x²的零点个数为函数f（x）=2^x与y=x²的交点个数，根据函数f（x）=2^x与y=x²图象可判定；
④幂函数y=x^α中α＜0时，图象不点（0，0）．

解答 解：对于①，a=0时，方程ax²+x+1=0只有一个实数根，原命题假，原命题与逆否命题同真假，故错；
对于②，f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax其最小正周期为π，则a=±1，故正确；
对于③，函数f（x）=2^x-x²的零点个数为函数f（x）=2^x与y=x²的交点个数，x=2、4时，2^x-x²=0，x＜0有一个，其交点有3个，故错；
对于④，幂函数y=x^α中α＜0时，图象不点（0，0），故错．
故选：A．

点评 本题考查了命题真假的判定，需要大量的基础知识，属于中档题．