Question

【题目】如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A=A1B1，∠AA1B=90°．

（1）平面A1C1B∩平面ABC=l，证明：A1C1∥l；

（2）求四棱锥B-A1ACC1的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）三棱台中上底面与下底面是平行的，即平面A1B1C1∥平面ABC，再由面面平行的性质定理可以得到；

（2） 取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，由面面垂直的性质可得CO⊥平面A1ABB1，由已知求得上底面边长，然后利用等积法求四棱锥B-A1ACC1的体积．

（1）证明：如图，∵平面A1B1C1∥平面ABC，

且平面A1C1B∩平面ABC=l，A1C1B∩平面A1B1C1=A1C1，

∴A1C1∥l；

（2）解：∵底面ABC是等边三角形，取AB中点O，

连接CO，则CO⊥AB，

∵面A1ABB1⊥底面ABC，且面A1ABB1∩底面ABC=AB，

∴CO⊥平面A1ABB1，连接A1C，

在三棱台ABC-A1B1C1中，

∵上、下底面的面积之比为1：4，∴AB=2A1B1，

由AB=2，得CO=，A1B1=1，则A1A=A1B1=1，

又∠AA1B=90°，∴，

则，

∴=；

由AC=2A1C1，得，

∴，

∴四棱锥B-A1ACC1的体积．