Question

6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA、BC的中点
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD
（2）求证：MN∥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）由已知中底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，结合正方形的性质及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；
（2）取AD中点E，连接ME，NE，结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME∥PD，NE∥CD，由面面平行的判定定理易判断出平面MNE∥平面PCD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PCD；

解答 证明：（1）∵面ABCD为正方形
∴AC⊥BD                                                （1分）
∵PD⊥面ABCD    AC?面ABCD
∴PD⊥AC                                                （3分）
又PD∩AD=D                                             （4分）
∴AC⊥面PBD                                             （5分）
又AC?面PAC                                            （6分）
∴平面PAC⊥平面PBD                                      （7分）
（2）取PD的中点E，连接ME、CE                              （9分）
∵E、M、N分别为PD、PA、BC的中点
∴ME∥$\frac{1}{2}$AD     CN∥$\frac{1}{2}$AD
∴ME∥CN，
∴四边形MECN为平行四边形             （11分）
∴MN∥CE                                               （12分）
有MN?面PCD    CE?面PCD
∴MN∥面PCD                                           （14分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得AC⊥平面PBD，（2）的关键是得到平面MNE∥平面PCD．