Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=2（sin2x-1，cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）求函数f（x）在m[0，$\frac{π}{2}$]时的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用数量积以及三角恒等变换公式可得$f（x）=\overrightarrow a•\overline b=sin2x-1+2{cos^2}x$=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，由正弦函数的性质计算可得答案；
（2）由（1）的结论，结合正弦函数的图象性质，分析可得答案．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overline b=sin2x-1+2{cos^2}x$=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$…（4分）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π…（5分）
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$时，即$x=\frac{π}{8}$时，$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}$
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$时，即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）_min=-1…（10分）

点评 本题考查三角函数的恒等变换的运用，关键是利用三角函数的有关公式，将$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$变形为Asin（ωx+φ）的形式．