Question

2．已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=2a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）若b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n+n与S_n+1=2a_n+1+n+1作差、整理可知数列{a_n-1}是以-2为首项、2为公比的等比数列，进而可得结论；
（2）通过S_n=2a_n+（-1）ⁿ与S_n-1=2a_n-1+（-1）^n-1（n≥2）作差、整理得a_n=2a_n-1+$\frac{4}{3}$（-1）ⁿ-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ，变形为a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n-1+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ]（n≥2），从而数列{a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ}是以${a}_{1}-\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$为首项、2为公比的等比数列，计算可得结论．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n+n，
∴S_n+1=2a_n+1+n+1，
两式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n+1，
整理得：a_n+1=2a_n-1，即a_n+1-1=2（a_n-1），
又∵a₁=2a₁+1，即a₁=-1，
∴a₁-1=-2，
∴数列{a_n-1}是以-2为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n-1=-2•2^n-1=-2^n-1，
∴a_n=1-2^n-1；
（2）∵S_n=2a_n+（-1）ⁿ，
∴S_n-1=2a_n-1+（-1）^n-1（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1+2（-1）ⁿ，
∴a_n=2a_n-1-2（-1）ⁿ
=2a_n-1-$\frac{4}{3}$（-1）ⁿ-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ
=2a_n-1+$\frac{4}{3}$（-1）ⁿ-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ，
即：a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n-1+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ]（n≥2），
∴数列{a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ}是以${a}_{1}-\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ=$\frac{1}{3}$•2^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•2^n-1-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．