Question

9．定义函数D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x为有理数}\\{-1}&{x为无理数}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，给出下列五个命题：
①D（x）是奇函数，②D（x）是偶函数，③D（x）是周期函数，④D（x）的图象存在对称中心，⑤D（x）的图象存在对称轴
其中正确的命题序号是②③⑤．

Answer 1

分析 由奇偶函数的定义进行判断①②；由周期函数的定义可判断③；由函数的图象可得判断④⑤．

解答 解：若x为有理数，则-x也为有理数，∴f（x）=f（-x）=1，
若x为无理数，则-x也为无理数，∴f（x）=f（-x）=-1，
综上有f（x）=f（-x），∴函数f（x）为偶函数不为奇函数，
∴①错误，②正确；
当T=3，则当x为有有理数时，x+3也为有理数，则f（x+3）=f（x）；
则当x为有无理数时，x+3也为无理数，则f（x+3）=f（x）；
故T为函数的周期，即f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故③正确；
由D（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，故存在对称轴x=0，不存在对称中心，
则④错误，⑤正确．
故答案为：②③⑤．

点评 本题主要考查了特殊函数的性质的理解，属于中档题，高考以新定义题目出现．