Question

15．已知函数f（x）=x²+（x-1）|x-a|
（1）若a=0，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值的定义，去绝对值可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2{x}^{2}-x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{x}^{2}-{x}^{2}+x＜0}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求解集；
（2）把不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立转化为函数g（x）=f（x）-（2x-3）≥0对一切实数x∈R恒成立．然后对a进行分类讨论，利用函数单调性求得a的范围，取并集后得答案．

解答 解：（1）f（x）＜0即为x²+（x-1）|x|＜0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2{x}^{2}-x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{x}^{2}-{x}^{2}+x＜0}\end{array}\right.$，
即为x＜0或0＜x＜$\frac{1}{2}$，
则解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$且x≠0}；
（2）设g（x）=f（x）-（2x-3），
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（a+3）x+a+3，x≥a}\\{（a-1）x-a+3，x＜a}\end{array}\right.$，
不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，
等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．
①若a＞1，则1-a＜0，即$\frac{2}{1-a}$＜0，取x₀=$\frac{2}{1-a}$，
此时x₀∈（-∞，a），g（x₀）=g（$\frac{2}{1-a}$）=（a-1）•$\frac{2}{1-a}$-a+3=1-a＜0，
即对任意的a＞1，总能找到x₀=$\frac{2}{1-a}$，使得g（x₀）＜0，
∴不存在a＞1，使得g（x）≥0恒成立． 
②若a=1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4x+4，x≥1}\\{2，x＜1}\end{array}\right.$，g（x）值域为[2，+∞），
∴g（x）≥0恒成立．
③若a＜1，
当x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a²-2a+3，+∞），
由于a²-2a+3=（a-1）²+2≥2，
∴g（x）≥0成立．
当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知a＜$\frac{a+3}{4}$，
g（x）在x=$\frac{a+3}{4}$处取最小值，
令g（$\frac{a+3}{4}$）=a+3-$\frac{（a+3）^{2}}{8}$≥0，得-3≤a≤5，
又a＜1，∴-3≤a＜1．
综上，a∈[-3，1]．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了分离变量法，训练了利用函数单调性求参数的取值范围，属难度较大的题目．