Question

已知f(x)=log

1

2

(10-ax)其中a为常数，f（3）=-2．
（1）求a值；
（2）若g(x)=

a 2   (1≤x≤2) a 2 x- a 2 (2＜x≤3)

，对任意的实数m，记V（m）为在定义域内g（x）-mx的最大值与最小值的差，求V（m）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用题中条件：“f（3）=-2，”得log

1

2

(10-3a)=-2，易求得a值；
（2）由（1）得：g(x)=

1  (1≤x≤2) x-1   (2＜x≤3)

，进而得到V(m)=

1-mx  (1≤x≤2) (1-m)x-1(2＜x≤3)

，下面分情况讨论如下：
①若m＜0，②若m=0，V（m）=1；③若0＜m＜1，④若m=1，V（m）=1；⑤若m＞1，V（m）=2m-1≥1．最后综合以上得到V（m）的最小值．

解答：解：（1）∵f（3）=-2，
∴log

1

2

(10-3a)=-2，⇒10-3a=4，
易求得：a=2；
（2）因为a=2，所以得到：g(x)=

1  (1≤x≤2) x-1   (2＜x≤3)

进而得到V(m)=

1-mx  (1≤x≤2) (1-m)x-1(2＜x≤3)

分情况讨论如下：
①若m＜0，max{g（x）-mx|x∈[1，3]}=2-3m，
min{g（x）-mx|x∈[1，3]}=1-m，V（m）=1-2m＞1
②若m=0，V（m）=1
③若0＜m＜1，如图，g（m）_min=V（2）=1-2m，
当0＜m≤

1

2

，g（m）_max=V（3）=2-3m，
当

1

2

＜m＜1，则 g（m）_max=V（1）=1-m
此时，分析得V(m)≥

1

2

．
④若m=1，V（m）=1．
⑤若m＞1，V（m）=2m-1≥1．
综合以上得到V（m）的最小值为

1

2

．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、求对数函数解析式、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．