已知函数f(n)=log(n+1).若存在正整数k满足:f=k.那么我们将k叫做关于n的“对整数．当n∈[1.2012]时.则“对整数的个数为99个．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f（n）=log_（n+1）（n+2）（n为正整数），若存在正整数k满足：f（1）•f（2）…f（n）=k，那么我们将k叫做关于n的“对整数”．当n∈[1，2012]时，则“对整数”的个数为

个．

分析：根据题目给出的新定义，把f（1），f（2），f（3），…，代入乘积式化简后得k=log₂（n+2），则n+2=2^k，求出[1，2012]内满足n+2=2^k的n的个数．

解答：解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2），
∴k=f(1)•f(2)…f(n)=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log2(n+2)，
∴n+2=2^k k∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10} 时满足要求，
∴当n∈[1，2012]时，则“对整数”的个数为9个．

点评：本题考查了对数的运算性质，是新定义题，考查了数学转化思想，解答此题的关键是对乘积式的化简．

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已知函数f（x）=

kx-(k+1)

（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）证明：当k=2时，不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立；
（3）证明：ln（1×2）+ln（2×3）+L+ln[n（n+1）]＞2n-3．

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给出下列四个结论：
①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
③已知空间直线m，n，l，则m∥n的一个必要非充分条件是m，n与l所成角相等；
④已知函数f(x)=log2x+logx2+1，

&x∈(0，1)

，则f（x）的最大值为-1．
其中正确结论的序号是

．

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已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x₁＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x₁，f（x₁））处的切线l与x轴的交点为（x₂，0），证明：x₂≥3．

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（2012•成都一模）已知函数f(x)=

x2-mln

1+2x

+mx-2m，m＜0．
（I）当m=-1时，求函数y=f(x)-

的单调区间；
（II）已知m≤-

（其中e是自然对数的底数），若存在实数x0∈(-

，

e-1

]，使f（x₀）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；
（III）证明：