Question

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x₁＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x₁，f（x₁））处的切线l与x轴的交点为（x₂，0），证明：x₂≥3．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，由切线与x轴平行，得到切线斜率为0，故把x=2代入导函数求出的导函数值为0，列出关于m与n的关系式，用关于m的代数式表示出n即可；
（2）把（1）表示出的n代入f（x）和导函数中，令导函数大于0，分m大于0和小于0两种情况考虑，分别求出不等式的解集即可得到函数的单调递增区间；
（3）把x=x₁代入（1）求出的导函数，表示出切线l的斜率，代入f（x）求出切点的纵坐标，确定出切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线l的方程，然后令y=0表示出x₂，利用作差法，根据x₁＞2，及完全平方式大于等于0得到x₂-3大于等于0，变形即可得证．

解答：解：（1）∵f（x）=m³x+nx²，
∴f′（x）=3mx²+2nx．
由题意得：f′（2）=0，即3m+n=0，
∴n=-3m；（4分）
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
令f′（x）＞0，
得3mx²-6mx＞0，
当m＞0时，∴x＜0或x＞2，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），
当m＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2）；（8分）
（3）由（1）得：f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
l：y-（mx₁³-3mx₁²）=（3mx₁²-6mx₁）（x-x₁），
令y=0，由m≠0，x₁＞2，则x2=

2 x 2 1 -3x1

3(x1-2)

，
所以x2-3=

2 x 2 1 -3x1

3(x1-2)

-3=

2 x 2 1 -12x1+18

3(x1-2)

=

2(x1-3)2

3(x1-2)

，
∵x₁＞2．（x₁-3）²≥0，
∴x₂-3≥0，即x₂≥3．（12分）

点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性．要求学生掌握切点横坐标对应的导函数值为切线方程的斜率，导函数值大于0时x的范围为函数的递增区间，导函数值小于0时x的范围为函数的递减区间，熟练运用这些性质是解本题的关键．