Question

14．证明：1×2²-2×3³+…+（2n-1）（2n）²-2n（2n+1）²=-n（n+1）（4n+3）（n∈N⁺）

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明即可．

解答 证明：①当n=1时，左边=1×2²-2×3²=-14，
右边=-（1+1）（4×1+3）=-14，
等时成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有1×2²-2×3²+…+（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²=-k（k+1）（4k+3），
则当n=k+1时，1×2²-2×3²+…+（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²+（2k+1）（2k+2）²-2（k+1）（2k+3）²
=-k（k+1）（4k+3）+（2k+1）（2k+2）²-2（k+1）（2k+3）²
=-k（k+1）（4k+3）+（k+1）[4（2k+1）（k+1）-2（2k+3）²]
=-k（k+1）（4k+3）-2（k+1）（6k+7）
=-（k+1）（4k²+15k+14）
=-（k+1）（k+2）（4k+7），
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②可知等时成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．