Question

17．已知f（x）是定义在R上的函数，若函数y=f（x+1）为偶函数，且当x≥1时，有f（x）=1-2^x，设a=f（${\frac{3}{2}}$），b=f（${\frac{2}{3}}$），c=f（${\frac{1}{3}}$），则（　　）

• A． c＜b＜a
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 根据条件可得到x≥0时，f（x+1）=1-2^x+1，而根据f（x+1）为偶函数即可得到f（1-x）=1-2^x+1，x≥0，从而可求出f（$\frac{2}{3}$），$f（\frac{1}{3}）$，$f（\frac{3}{2}）$，并根据指数函数单调性比较这三个数的大小．

解答 解：根据题意，x≥0时，f（x+1）=1-2^x+1；
∵f（x+1）为偶函数；
∴f（-x+1）=f（x+1）；
∴f（1-x）=1-2^x+1，x≥0；
∴$f（\frac{2}{3}）=f（1-\frac{1}{3}）=1-{2}^{\frac{4}{3}}$，$f（\frac{1}{3}）=f（1-\frac{2}{3}）=1-{2}^{\frac{5}{3}}$，$f（\frac{3}{2}）=1-{2}^{\frac{3}{2}}$；
$\frac{4}{3}＜\frac{3}{2}＜\frac{5}{3}$，∴${2}^{\frac{4}{3}}＜{2}^{\frac{3}{2}}＜{2}^{\frac{5}{3}}$；
∴c＜a＜b．
故选C．

点评 考查已知f（x）求f（1+x）的方法，及这两函数自变量的范围的不同，偶函数的定义，以及指数函数的单调性．