Question

6．若直线y=kx+b（b＜0）是曲线y=e^x-2的切线，也是曲线y=lnx的切线，则b=-1 ．

Answer 1

分析 分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．

解答 解：设y=kx+b与y=e^x-2和y=lnx的切点分别为（x₁，${e}^{{x}_{1}-2}$）、（x₂，lnx₂）；
由导数的几何意义可得k=${e}^{{x}_{1}-2}$=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
曲线y=e^x-2在（x₁，${e}^{{x}_{1}-2}$）处的切线方程为y-${e}^{{x}_{1}-2}$=${e}^{{x}_{1}-2}$（x-x₁），
即y=${e}^{{x}_{1}-2}x+（1-{x}_{1}）{e}^{{x}_{1}-2}$，
曲线y=lnx在点（x₂，lnx₂）处的切线方程为y-$ln{x}_{2}=\frac{1}{{x}_{2}}（x-{x}_{2}）$，
即$y=\frac{1}{{x}_{2}}x+ln{x}_{2}-1$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}-2}=\frac{1}{{x}_{2}}}\\{（1-{x}_{1}）{e}^{{x}_{1}-2}=ln{x}_{2}-1}\end{array}\right.$，解得x₂=1．
∴切线方程为y=x-1，即b=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．