Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，（x+1）（x+e^-x）f（x）＞2（1+$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的单调性，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出m的范围；
（Ⅱ）问题转化为证明$\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，令f（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，g（x）=$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
所以 $f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0．
所以 f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
则  x=1是函数f（x）的极大值点．（3分）
又f（x）在（m，m+1）上存在极值，则m＜1＜m+1?0＜m＜1．
故实数m的取值范围是（0，1）．（5分）
（Ⅱ）证明：$（x+1）（x+{e^{-x}}）f（x）＞2（1+\frac{1}{e}）?\frac{1}{e+1}•\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}＞\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$．
令$g（x）=\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}，则g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$．
令$φ（x）=x-lnx，则φ'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}，当x＞0时，φ'（x）＞0$，
∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增
所以φ（x）＞φ（1）=1＞0，
∴g'（x）＞0．∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以当x＞1时，$g（x）＞g（1）=2，故\frac{g（x）}{e+1}＞\frac{2}{e+1}$．（9分）
令$h（x）=\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}，则h'（x）=\frac{{2{e^{x-1}}（1-{e^x}）}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}$．
∵x＞1，∴1-e^x＜0，∴h'（x）＞0，则h（x）在（1，+∞）上单调递减．
所以，$h（x）＜h（1）=\frac{2}{e+1}$．（11分）
故 $\frac{g（x）}{e+1}＞h（x）$，即$（x+1）（x+{e^x}）f（x）＞2（1+\frac{1}{e}）$．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．