Question

19．已知函数f（x）=x²+ax+blnx（a，b∈R）．
（1）若b=1且f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值及单调区间；
（2）若b=-1，f（x）≥0对x＞0恒成立，求a的取值范围；
（3）若a+b≥-2且f（x）在（0，+∞）上存在零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用f（x）在x=1处取得极值，求解a，利用导函数的符号，判断函数的单调性．
（2）b=-1，f（x）≥0对x＞0恒成立，转化为，函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围．
（3）f（x）在（0，+∞）存在零点?x²+ax+blnx=0，$?-x-\frac{blnx}{x}=a$在（0，+∞）上有解，推出a，b的不等式，令P（x）=x²-（b+2）x+blnx，求出函数的导数，①当b＞0时，②当b≤0时，通过函数的单调性以及函数的最值求解即可．

解答 解：（1）函数的定义域为：{x|x＞0}．
若b=1，则$f（x）={x^2}+ax+lnx，f'（x）=\frac{{2{x^2}+ax+1}}{x}$，
由f'（1）=0得a=-3，故$f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{x-1}）}}{x}$，
当$0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当$\frac{1}{2}＜x＜1$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间为$（{0，\frac{1}{2}}）$和（1，+∞），单调递减区间为$（{\frac{1}{2}，1}）$…（4分）
（2）当b=-1时，$f'（x）=\frac{{2{x^2}+ax-1}}{x}$，
令g（x）=2x²+ax-1易知g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点设为x₀，
则当x∈（0，x₀）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，故f（x）在（0，x₀）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，故f（x）在（x₀，+∞）单调递增，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=x_0^2+a{x_0}-ln{x_0}$，
又$g（{x_0}）=2x_0^2+a{x_0}-1=0$即$f{（x）_{min}}=1-x_0^2-ln{x_0}$，
依题意$1-x_0^2-ln{x_0}≥0$即$x_0^2+ln{x_0}-1≤0$，
易知h（x）=x²+lnx-1在（0，+∞）单调递增，
且h（1）=0，故0＜x₀≤1，
又$a=\frac{1}{x_0}-2{x_0}$随x₀增大而减小
所以a∈[-1，+∞）…（10分）‘
说明：此题若用分离参数法同样给分．
（3）f（x）在（0，+∞）存在零点?x²+ax+blnx=0，
在（0，+∞）上有解$?-x-\frac{blnx}{x}=a$在（0，+∞）上有解，
又a+b≥-2即a≥-b-2，
故$-x-\frac{blnx}{x}≥-b-2$即x²-（b+2）x+blnx≤0在（0，+∞）上有解
令P（x）=x²-（b+2）x+blnx，
则$P'（x）=\frac{{（{x-1}）（{2x-b}）}}{x}$，
①当b＞0时，P（1）=-1-b＜0，故P（x）≤0有解，
②当b≤0时，易知P（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以P（x）_min=P（1）=-1-b≤0，
所以-1≤b≤0，
综上b≥-1…（16分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．