Question

8．已知A₁，A₂，A₃为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=λ（$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}$）（λ是实数），且$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$是单位向量，则这样的点M有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 无数个

Answer 1

分析 设A₁，A₂，A₃的坐标，表示出M的坐标，令|$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$|=1得出关于λ的方程，判断方程的解的个数即可得出M的位置的个数．

解答 解：以A₁为原点建立坐标系，设A₂（a，b），A₃（m，n），则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}$=（a+m，b+n），
∴M（λ（a+m），λ（b+n）），
∴$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（-λ（a+m），-λ（b+n）），$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=（a-λ（a+m），b-λ（b+n）），$\overrightarrow{M{A}_{3}}$=（m-λ（a+m），n-λ（b+n）），
∴$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$=（（1-3λ）（a+m），（1-3λ）（b+n）），
∵$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$是单位向量，
∴（1-3λ）²[（a+m）²+（b+n）²]=1，
∵A₁，A₂，A₃为平面上三个不共线的三点，∴（a+m）²+（b+n）^2＞0．
显然λ有两解，故满足条件的M有两个．
故选：C．

点评 本题考查令平面向量的线性运算，坐标运算，属于中档题．