Question

6．已知变量$f（x）=Asin（ωx+φ）\;（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小值为-2，最小正周期为π，f（0）=1，则f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为（　　）

• A． $[{0，\frac{π}{6}}]$
• B． $[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$
• C． $[{\frac{2π}{3}，π}]$
• D． $[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}]$

Answer 1

分析 利用正弦函数的最值求得A，利用周期性求得ω，根据f（0）=1求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

解答 解：变量$f（x）=Asin（ωx+φ）\;（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小值为-2，最小正周期为π，
则A=2，$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵f（0）=2sin（0+φ）=1，∴sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再结合x∈[0，π]，可得f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{6}$]、[$\frac{2π}{3}$，π]，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的最值、周期性、单调性，属于基础题．