Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$两个焦点为分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），过点F₂的直线l与该双曲线的右支交于M，N两点，且△F₁MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则a²为（　　）

• A． $\frac{{5-\sqrt{2}}}{17}$
• B． $\frac{{5+\sqrt{2}}}{17}$
• C． $\frac{{5-2\sqrt{2}}}{17}$
• D． $\frac{{5+2\sqrt{2}}}{17}$

Answer 1

分析 设|AF₁|=|AB|=m，计算出|AF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e²的值，即可得出结论．

解答 解：由题意，设|MF₁|=|MN|=m，
则|NF₁|=$\sqrt{2}$m，|MF₂|=m-2a，|NF₂|=$\sqrt{2}$m-2a，
∵|MN|=|MF₂|+|NF₂|=m，
∴m-2a+$\sqrt{2}$m-2a=m，
∴4a=$\sqrt{2}$m，
∴|MF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，
∵△MF₁F₂为Rt三角形，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）m²，
∵4a=$\sqrt{2}$m，
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）×8a²，
∴e²=5-2$\sqrt{2}$．
∵c=1，
∴a²=$\frac{5+2\sqrt{2}}{17}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|MF₂|，从而利用勾股定理求解．