Question

设函数f（x）=ax³-3x²，（a∈R），且x=2是y=f（x）的极值点．
（Ⅰ）求实数a的值，并求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）=e^x•f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0可求出a的值，再由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．
（2）先求出函数g（x）的解析式然后求导，再由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），因为x=2是函数y=f（x）的极值点，
所以f′（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
所以y=f（x）的单调增区间是（-∞，0），（2，+∞）；单调减区间是（0，2）
（Ⅱ）g（x）=e^x（x³-3x²），
g′（x）=e^x（x³-3x²+3x²-6x）=e^x（x³-6x）=x(x+

6

)(x-

6

)ex，
因为e^x＞0，所以，y=g（x）的单调增区间是(-

6

，0)，(

6

，+∞)；
单调减区间是(-∞，-

6

)，(0，

6

)．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．