Question

设点P(x，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(，0)的距离比点P到x轴的距离大.

(1)求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；

(2)若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且=0，点O到直线l的距离为，求直线l的方程．

Answer 1

(1)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y²=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．

(2)当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y²=2x可求得A()，B()，不符合=0

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b(k≠0，b≠0)，联立y=kx+b与y²=2x，化简得ky²-2y+2b=0

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁y₂=

=0x₁x₂+y₁y₂=0+y₁y₂=0

y₁y₂+4=0+4=0b+2k=0  ①

又O到直线l距离为得      ②

联立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2