Question

（本小题满分12分）

设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．求：

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求圆的方程；

（Ⅲ）问圆是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）且

（Ⅱ） 

（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析:（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是；

令，由题意且Δ＞0，

解得且．                                                    ……2分

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为，

令＝0 得，这与＝0 是同一个方程，故

令＝0 得，此方程有一个根为，代入得出

所以圆的方程为.                          ……6分

（Ⅲ）圆必过定点和．

证明：法一：将代入圆的方程，得左边＝右边＝，

所以圆必过定点．

同理可证圆必过定点．                                          ……12分

法二：圆的方程为可化为

令解得或  

所以圆必过定点和．                                       ……12分

考点：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

点评：由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，在做题时要合理选用，如果选择不恰当，可能会造成运算过于复杂而无法求解.