Question

设函数f(x)=

1

2

x2+(1-a)x+(a-1)lnx．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定确定坐标，与切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）求导数f′(x)=

x2+(1-a)x+a-1

x

，记g（x）=x²+（1-a）x+a-1，利用函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，可得x²+（1-a）x+a-1≤0在区间[2，3]上恒成立，从而可建立不等式组，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）a=0时，f′(x)=

x2+x-1

x

，∴f′（1）=1
∴f（1）=

3

2

，∴曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-

3

2

=x-1，即x-y+

1

2

=0
（2）f′(x)=

x2+(1-a)x+a-1

x

，记g（x）=x²+（1-a）x+a-1
∵函数f（x）在区间[2，3]上单调递减
∴x²+（1-a）x+a-1≤0在区间[2，3]上恒成立
∴

g(2)≤0 g(3)≤0

，∴

4+2(1-a)+a-1≤0 9+3(1-a)+a-1≤0

∴a≥

11

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．