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    【题目】如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）求线段中点的轨迹方程；

    （3）求证：点的横坐标为定值.

    【答案】（1）；（2）（）；（3）.

    【解析】

    （1）根据题意可得，由此求得椭圆方程。

    （2）设，利用点差法求出线段中点的轨迹方程。

    （3）设直线的方程为： ，直线的方程为： ，联立求得，由此证明点的横坐标为定值。

    （1）椭圆两顶点，短轴长为，焦距为，

    ，解得

    椭圆方程为：.

    （2）设，

    则 ①， ②，

    则①②得，

    ，

    即 .

    线段中点的轨迹方程为：.

    （3）证明：设直线的方程为： ，

    直线的方程为： ，

    两式联立可得：

    由①②得

    即 ③，

    又三点共线，则④，

    ②代入③得

    把③④代入⑤整理得.

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    （1）证明：AD⊥BA1；

    （2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.

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    【题目】已知圆与抛物线有一条斜率为1的公共切线.

    （1）求.

    （2）设与抛物线切于点，作点关于轴的对称点，在区域内过作两条关于直线对称的抛物线的弦，.连接.

    ①求证：；

    ②设面积为，求的最大值.

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    【题目】某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

    日期

    3月2日

    3月8日

    3月15日

    3月22日

    3月28日

    温差/

    10

    11

    13

    12

    8

    发芽数/颗

    23

    25

    30

    26

    14

    （1）在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程；

    （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠?

    （参考公式：，）（参考数据：，）

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    【题目】已知抛物线，在x轴正半轴上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，O两点.

    （1）设，证明：抛物线在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；

    （2）通过解答（1），猜想求过抛物线上一点（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明.

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    【题目】如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

    （1）求抛物线C的方程.

    （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知函数.

    （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

    （2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；

    （3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

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    【题目】某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中，是圆的切线，且，曲线是抛物线的一部分，，且恰好等于圆的半径.

    （1）若米，米，求与的值；

    （2）若体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.

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