【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线方程为
,求
的值;
(2)若的导函数
存在两个不相等的零点,求实数
的取值范围;
(3)当时,是否存在整数
,使得关于
的不等式
恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,最大值为
.
【解析】
(1)求出函数的导数
,由题意得出
从而可求出实数
的值;
(2)令,可得知函数
在
上有两个零点,分
和
两种情况讨论,利用导数分析函数
在区间
上的单调性和极值,由题意转化为函数
极值相关的不等式,解出即可得出实数
的取值范围;
(3)将代入函数
的解析式得出
,对该函数求导得出
,构造函数
,利用单调性结合零点存在定理找出函数
的极小值点
,并满足
,结合此关系式计算得出
,从而可得出整数
的最大值.
(1),
因为曲线在点
处的切线方程为
,
所以,得
;
(2)因为存在两个不相等的零点.
所以存在两个不相等的零点,则
.
①当时,
,所以
单调递增,至多有一个零点
②当时,因为当
时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
所以时,
.
因为存在两个零点,所以
,解得
.
因为,所以
.
因为,所以
在
上存在一个零点.
因为,所以
.
因为,设
,则
,
因为,所以
单调递减,
所以,所以
,
所以在
上存在一个零点.
综上可知,实数的取值范围为
;
(3)当时,
,
,
设,则
.所以
单调递增,
且,
,所以存在
使得
,
因为当时,
,即
,所以
单调递减;
当时,
,即
,所以
单调递增,
所以时,
取得极小值,也是最小值,
此时,
因为,所以
,
因为,且
为整数,所以
,即
的最大值为
.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)证明:BE⊥平面D1AE;
(2)设F为CD1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,设椭圆两顶点
,短轴长为4,焦距为2,过点
的直线
与椭圆交于
两点.设直线
与直线
交于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段中点
的轨迹方程;
(3)求证:点的横坐标为定值.
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【题目】已知函数f(x)=lg ,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)
=lgx.
(1)若不等式f(x)≤lgt的解集为A,且A(0,4],求实数t的取值范围;
(2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为,求实数m的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,椭圆
:
,点
在椭圆
上,过点
作圆
的切线,其切线长为椭圆
的短轴长.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆
的另一个交点为
,点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴交于
点.设直线
,
的斜率分别为
,
,求
的值.
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【题目】“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游),春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满50元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有4名顾客都领取一件礼品,则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,点A为该椭圆的左顶点,过右焦点
的直线l与椭圆交于B,C两点,当
轴时,三角形ABC的面积为18.
求椭圆
的方程;
如图,当动直线BC斜率存在且不为0时,直线
分别交直线AB,AC于点M、N,问x轴上是否存在点P,使得
,若存在求出点P的坐标;若不存在说明理由.
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