Question

【题目】在直角坐标系中，椭圆：，点在椭圆上，过点作圆的切线，其切线长为椭圆的短轴长.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆的另一个交点为，点在椭圆上，且，直线与轴交于点.设直线，的斜率分别为，，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（1）根据圆的切线性质，求出，将点代入椭圆方程，即可求解；

（2）根据已知条件求出直线方程，与椭圆方程联立，由韦达定理求出坐标关系，求出直线的斜率，可求出直线方程，进而求出点坐标，即可求出结论.

解：（Ⅰ）根据题目条件可知：，

解得：.又因为点在椭圆上，

所以，可得，

故椭圆的标准方程为：.

（Ⅱ）直线的斜率为，

因为，所以，

直线的直线方程为：

与椭圆的方程联立可得：

，，

，

则.∵点的坐标为，

∴直线的直线方程为：，

则点解得，

，所以.