Question

已知等差数列{a_n}的公差d不为零，首项a₁=2且前n项和为S_n．
（Ⅰ）当S₉=36时，在数列{a_n}中找一项a_m（m∈N），使得a₃，a₉，a_m成为等比数列，求m的值．
（Ⅱ）当a₃=6时，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…并且a₁，a₃，a_n1，a_n2，…，a_nk，…是等比数列，求n_k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得公差d=

1

2

，由a₃，a₉，a_m成等比数列，可得关于m的式子，解之可得；
（Ⅱ）由条件可得a_n=2n，a1，a3，an1成等比数列，可得公比q=3，可得ank=2nk，由通项公式解之可得．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的公差d≠0，a₁=2，S₉=36，
∴36=9×2+

1

2

×9×8d，解之可得d=

1

2

，
∴a₃=3，a₉=6…3分
由a₃，a₉，a_m成等比数列
则

a

2 9

=a3•am，得a_m=12，
又12=2+(m-1)×

1

2

，
∴m=21…7分
（Ⅱ）∵{a_n}是等差数列，a₁=2，a₃=6，∴d=2，∴a_n=2n，
又a1，a3，an1成等比数列，所以公比q=3…11分，
∴ank=a1•qk+1=2•3k+1
又ank是等差数列中的项，∴ank=2nk，
∴2nk=2•3k+1，
∴nk=3k+1(k∈N)…14分．

点评：本题考查等比关系的确定和等比数列的通项公式，属中档题．