Question

如图，在横放得四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，∠DAE=90°，且△ABE是等腰直角三角形，其中∠BAE=90°，连接AC、BD交于点O．
（1）求证：BD⊥平面AEC；
（2）若二面角A-BD-E的大小为60°，且直线EC与平面ABCD所成的角为θ，求sinθ．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知，DA⊥AE，BA⊥AE，得到AE⊥平面ABCD，可得AE⊥BD，又AC⊥BC，从而有BD⊥平面AEC；
（2）连接EO，由（1）知BD⊥AO，BD⊥EO，∠AOE为二面角A-BD-E的平面角，即∠AOE=60°，不妨设AE=

3

，则可求得EC=

7

，从而可求sinθ的值．

解答： 解：（1）由已知，DA⊥AE，BA⊥AE，得到AE⊥平面ABCD，故AE⊥BD，又AC⊥BC，故BD⊥平面AEC；-----------5分
（2）连接EO，由（1）知BD⊥AO，BD⊥EO，∠AOE为二面角A-BD-E的平面角，即∠AOE=60°．------------7分
不妨设AE=

3

，则在Rt△AOE中，AO=1，AC=2，
又由（1）知AE⊥平面ABCD，∠ACE为直线EC在平面ABCD所成的角，即∠ACE=θ．在Tt△ACE中，EC=

AE2+AC2

=

7

，
故sinθ=

AE

EC

=

21

7

．----------------12分

点评：本题主要考察了二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．