Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，且经过点(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=m（定值m≠0），求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率为

1

2

，且经过点(1，

3

2

)，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及k₁+k₂=m（定值m≠0），即可求直线l的斜率．

解答：解：（1）∵椭圆离心率为

1

2

，
∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c（2分）
又椭圆经过点(1，

3

2

)，∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1
解得c=1，∴a=2，b=

3

（3分）
∴椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意    …（5分）
设直线方程为l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（7分）
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

…（8分）
∴k₁+k₂=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=k(

x1-1

x1+2

+

x2-1

x2+2

)=k[2-3(

1

x1+2

+

1

x2+2

)]
=k[2-

3(x1+x2+4)

x1x2+2(x1+x2)+4

]=k（2-3•

2k2+1

3k2

）=-

1

k

∵k₁+k₂=m，∴-

1

k

=m，
∴k=-

1

m

．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．