Question

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx(x≥1)

的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出x＜1时的导函数，令f（-1）=2，f′（x）=-5，解方程组，求出b，c的值．
（II）分段求函数的最大值，利用导数先求出-1≤x＜1时的最大值；再通过对a的讨论，判断出1≤x≤e时函数的单调性，求出最大值，再从两段中的最大值选出最大值．

解答：解：（Ⅰ）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x+b，
由题意得：

f(-1)=2 f′(-1)=-5

即

2-b+c=2 -3-2+b=-5

，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）因为f(x)=

-x3+x2(x≤1) alnx(x≥1)

当-1≤x＜1时，f′（x）=-x（3x-2），
解f′（x）＞0得0＜x＜

2

3

解f′（x）＜0得1≥x＞

2

3

或x＜0
∴f（x）在（-1，0）和（

2

3

，1）上单减，在（0，

2

3

）上单增，
从而f（x）在x=

2

3

处取得极大值f（

2

3

）=

4

27

又∵f（-1）=2，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
当1≤x≤e时，f（x）=alnx，
当a≤0时，f（x）≤0；
当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．
∴a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．

点评：曲线对应的函数在切点处的导数值为切线的斜率；求分段函数的性质时应该分段去求．