Question

【题目】若过点A（2，m）可作函数f（x）=x3﹣3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围（　　）
A.[﹣2，6]
B.（﹣6，1）
C.（﹣6，2）
D.（﹣4，2）

Answer 1

【答案】C
【解析】设切点为（a，a3﹣3a），
∵f（x）=x3﹣3x，
∴f'（x）=3x2﹣3，
∴切线的斜率k=f′（a）=3a2﹣3，
由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（x﹣a），
∵切线过点A（2，m），
∴m﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（2﹣a），即2a3﹣6a2=﹣6﹣m，
∵过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根，
令g（x）=2x3﹣6x2
∴g′（x）=6x2﹣12x=0，解得x=0或x=2，
当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，
当x=2时，g（x）取得极小值g（2）=﹣8，
关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=﹣6﹣m的图象有三个不同的交点，
∴﹣8＜﹣6﹣m＜0，
∴﹣6＜m＜2，
∴实数m的取值范围为（﹣6，2）．
故选：C．
设切点为（a，a3﹣3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a3﹣6a2=﹣6﹣m，令g（x）=2x3﹣6x2 ， 利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=﹣6﹣m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围。