Question

【题目】在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且
（1）确定∠C的大小；
（2）若c= ，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 a=2csinA，

由正弦定理，得 sinA=2sinCsinA，

又sinA≠0，

则sinC= ，

∴∠C=60°或∠C=120°，

∵△ABC为锐角三角形，

∴∠C=120°舍去．

∴∠C=60°

（2）解：∵c= ，sinC=

∴由正弦定理得： ，

即a=2sinA，b=2sinB，

又A+B=π﹣C= ，即B= ﹣A，

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

=2[sinA+sin（ ﹣A）]+

=2（sinA+sin cosA﹣cos sinA）+

=3sinA+ cosA+

=2 （sinAcos +cosAsin ）+

=2 sin（A+ ）+ ，

∵△ABC是锐角三角形，

∴ ＜∠A＜ ，

∴ ＜sin（A+ ）≤1，

则△ABC周长的取值范围是（3+ ，3 ]

【解析】（1）由正弦定理进行边角互化，求出sinC=，由于三角形ABC为锐角三角形，故∠C=60°，（2）根据正弦定理进行边角互化，得出a=2sinA，b=2sinB，由辅助角公式和两角差的正弦公式进行化简，结合正弦公式即可得到△ABC周长的取值范围.