Question

方程

2x-x2

=k（x-2）+2恰有两解，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据方程和函数之间的关系，转化为y=

2x-x2

和y=k（x-2）+2的交点问题，利用直线和圆的位置关系以及数形结合即可得到结论．

解答： 解：设y=

2x-x2

，则y²=2x-x²，即（x-1）²+y²=1，（y≥0），对应的轨迹为圆心为C（1，0），半径为1的圆的上半部分，
y=k（x-2）+2，表示过定点A（2，2）的直线，
则直线经过点O（0，0）时，直线和半圆有两个交点，此时-2k+2=0，解得k=1，
当直线和圆相切时，圆心到直线kx-y+2-2k=0的距离d=

|k+2-2k|

1+k2

=

|2-k|

1+k2

=1，
即（k-2）²=1+k²，
即k=

3

4

，此时直线和圆有一个交点，
∴要使方程

2x-x2

=k（x-2）+2恰有两解，则满足1≤k＜

3

4

，
故答案为：1≤k＜

3

4

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据根据方程和函数之间的关系进行转化，利用直线和圆的位置关系以及数形结合是解决本题的关键．