Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=-1代入f（x），由二次函数的性质可求最值，得值域；（2）f（x）图象开口向上，对称轴为x=-a，x∈[-5，5]，根据二次函数的图象与性质，按照对称轴在区间的左中右分类讨论即可求最小值．

解答： 解：f（x）=x²+2ax+2，图象开口向上，对称轴为x=-a，
（1）当a=-1时，f（x）=x^2_-2x+2，对称轴为x=1，则函数在[-5，1]上单调递减，在[1，5]上单调递增，
x=1时取得最小值f（1）=1，x=-5时取得最大值f（-5）=37，
故函数y=f（x）的值域为[1，37]；
（2）f（x）=x²+2ax+2，图象开口向上，对称轴为x=-a，
又x∈[-5，5]，
①当a≤-5时，对称轴x=-a≥5，在区间右侧，f（x）在[-5，5]上单调递减，
所以f（x）的最小值为f（5）=27+10a，
②当-5≤-a≤5，即-5≤a≤5时，f（x）在[-5，-a]上单调递减，在[-a，5]上单调递增，
则f（x）的最小值为f（-a）=2-a²，
③当a≥5时，对称轴x=-a≤-5，在区间左侧，f（x）在[-5，5]上是增函数，
f（x）的最小值为f（-5）=27-10a，

点评：本题考查二次函数的最值与值域，利用函数的图象与性质，分类讨论求解，注意数形结合，分类讨论的数学思想．